Definición De Derivada

Definición De Derivada;

En matemáticas, la derivada de una función, es la razón de cambio instantánea con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

1 Definición de derivada

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:
Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior. 

---

2 Derivada de la parábola

Secantes y tangentes Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación cartesiana y D f .x/ en el punto .a; f .a//. En principio, parece que nos falta un dato ya que una recta no queda determinada por un solo punto. Para determinar una recta necesitamos dos puntos o un punto y la pendiente. La estrategia consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente.

3 Función derivada de la cúbica.

Una función cúbica (o función de tercer grado) es una función polinómica de grado 3, es decir, que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x³):

La representación gráfica de la función cúbica es:

Una función cúbica puede tener tres, dos o una raíz. Las raíces de una función son los elementos del dominio tal que su imagen es nula (f(x) = 0).

Función primera derivada y segunda derivada.

El Criterio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función ${\displaystyle f}$ es convexa en un intervalo abierto que contiene a ${\displaystyle c}$, y ${\displaystyle f'(c)=0,\;f(c)}$ debe ser un mínimo relativo a ${\displaystyle f}$. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle f'(c)=0,\;f(c)}$ debe ser un máximo relativo de ${\displaystyle f}$.
Sea ${\displaystyle f}$ una función derivable dos veces en un entorno abierto que contiene a ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle f'(x)=0}$ con la siguiente segunda derivada:

1. Si ${\displaystyle f''(x)<0}$, entonces ${\displaystyle f}$ tiene un máximo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$.

1. Si ${\displaystyle f''(x)>0}$, entonces ${\displaystyle f}$ tiene un mínimo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$.

1. Si ${\displaystyle f''(x)=0}$, entonces el criterio no decide. Esto es, ${\displaystyle f}$ quizás tenga un máximo relativo en ${\displaystyle x}$, un mínimo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$ o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.